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利用极坐标计算二重积分:∫∫(x+y)DxDy,其中D={(x,...

1、本题的积分区域不全,如果不是x轴,请说明; 2、具体解答如下,如有疑问,欢迎追问,有问必答; 3、若点击放大,图片更加清晰; 4、静心期待着楼主的补充与追问,以便进一步给予详细的解答。

用换元法:x=r*cos(a);y=r*sin(a) ∫∫sin(x^2+y^2)dxdy=∫∫r*sin(r^2)drda;其中r的积分限为:[0,2],a的积分限为:[0,2pai],接下来=2pai*∫r*sin(r^2)dr=pai*∫sin(r^2)d(r^2),令t=r^2,然后=pai*∫sin(t)dt,其中积分限要变成[0,4]

如果很不熟练的话,画个图就很容易得到积分限了;但是如果区域复杂,也许很难画出图来。所以参考下面无需作图,直接确定积分限的通用方法:

稍等

如图所示:

设x=rsin y=rcos,原二重积分化为(r^2+1)rdrd 其中1

∫∫ e^(x²+y²) dxdy =∫∫ e^(r²)*r drdθ =∫[0→2π]dθ∫[0→2] e^(r²)*r dr =2π∫[0→2] e^(r²)*r dr =π∫[0→2] e^(r²) d(r²) =πe^(r²) |[0→2] =π(e^4-1)

在D上被积函数分块表示max{x2,y2}=x2,x≥yy2,x≤y(x,y)∈D,于是要用分块积分法,用y=x将D分成两块:D=D1∪D2,D1=D∩{y≤x},D2=D∩{y≥x}.I=∫∫D1emaxx2,y2dxdy+∫∫D2emaxx2,y2dxdy=∫∫D1ex2dxdy+∫∫D2ey2dxdy=2∫∫D1ex2dxdy=2∫10dx∫x0ex2dy=2∫10...

由区域D的方程表达式就可以如图确定r与θ的范围,也可以画出D的图形帮助确定范围。

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